| Activités numériques
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| Chapitre 2. Diviseurs communs à deux nombres entiers
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| Question 2-1: Calculer le PGCD de deux nombres entiers
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@ @. 2-1-03. Asie du Sud-Est, Océan indien. Juin 2001
Déterminer, par la méthode de votre choix, le PGCD des nombres 5148 et 1386.
Calcul 1: On utilise la méthode des divisions successives
Commentaires
Cette méthode est basée sur la propriété (1):
Si a et b sont deux entiers naturels tels que a>b et la division euclidienne de a par b s'écrit: avec q et r, entiers naturels tels que , alors, PGCD(a,b)=PGCD(b,r).
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(après le signe (=) écrire d'abord le diviseur)
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On applique la propriété (1) pour a=5148 et b=1386.
Alors: PGCD(5148,1386)=PGCD(1386,990)
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(après le signe (=) écrire d'abord le diviseur)
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On applique la propriété (1) pour a=1386 et b=990.
Alors: PGCD(1386,990)=PGCD(990,396)
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(après le signe (=) écrire d'abord le diviseur)
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On applique la propriété (1) pour a=990 et b=396.
Alors: PGCD(990,396)=PGCD(396,198)
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(après le signe (=) écrire d'abord le diviseur)
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On applique la propriété (1) pour a=396 et b=198.
Alors: PGCD(396,198)=PGCD(198,0)
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On en déduit:
PGCD(5148,1386)=PGCD(,)=
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On applique la propriété (2):
Si a est un entier naturel alors PGCD(a,0)=a avec a=198.
On peut aussi donner la réponse avec la phrase:
Le dernier reste non nul est 198,
donc PGCD(5148,1386)=198.
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Calcul 2:On utilise la méthode des soustractions successives
Commentaires
Cette méthode est basée sur la propriété (3):
Si a et b sont deux entiers naturels tels que a>b, alors, PGCD(a,b)=PGCD(a-b,b).
On remplace la recherche de PGCD(a,b) par celle du couple obtenu en conservant b (le plus petit nombre) et en remplaçant a (le plus grand nombre) par la différence a-b et ceci jusqu'à arriver à un couple de nombres égaux et on utilise la propriété (4): PGCD(a,a)=a.
D'après le tableau: PGCD(5148,1386)=PGCD(,)=.
Commentaires
La méthode des divisions successives, appelée aussi Algorithme d'Euclide, est vraiment la plus rapide des deux, mais elle nécessite des calculs successifs de produits et de différences.
La méthode des soustractions successives est plus longue à écrire (et dans certains cas très très longue!!) mais elle ne nécessite que des calculs de différences, qui peuvent se faire facilement sans calculatrice.
Dans les sujets du Brevet on dit: Déterminer le PGCD des nombres, sans exiger une méthode de calcul, donc vous avez le choix.
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