| Algèbre
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| Polynômes
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1. Définitions, opérations. Développer, réduire et ordonner
Cours
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Définitions
L'expression: est une somme de monômes. C'est un polynôme.
1. Il est réduit parce que, ne contenant pas de monômes de même degré, il ne peut être réduit davantage.
2. Il est ordonné suivant les puissances décroissantes de x parce que les monômes successifs sont de degré de plus en plus petit: 2, 1 et 0 (). On pourrait aussi ordonner le polynôme suivant les puissances croissantes de x mais c'est plus rare. Sauf indication contraire on fera le premier choix.
3. Il a trois termes:
- le terme en de coefficient 4,
- le terme en de coefficient ?3,
- le terme constant de valeur 5 ( égal à 5 ).
4. Il est de degré 2, parce que, dans la forme réduite, le monôme de plus haut degré est de degré 2.
5. On considère l'expression .
Elle se transforme:
Passer de à s'appelle développer l'expression, parce qu'on utilise pour cela la formule de développement*: .
* On dit développement parce que l'expression est plus "grande" que l'expression . En effet:
- la première nécessite, pour son écriture, trois lettres, deux symboles opératoires et deux parenthèses,
- la seconde nécessite, pour son écriture, quatre lettres, trois symboles opératoires et quatre parenthèses.
Opérations sur les polynômes
1. Addition
La somme S des polynômes et est définie par: .
On réduit et ordonne S(x): .
2. Multiplication
- Le produit P des polynômes et est défini par: .
On développe:
On effectue chaque terme:
On réduit et ordonne:
Remarques
- a 3 termes, a 2 termes et , avant réduction, le développement du produit a 3 x 2 termes.
- est de degré 2, est de degré 1 et le produit est de degré (2 + 1).
- Le quotient Q des polynômes et est défini par: .
Sauf simplification exceptionnelle il ne se transforme pas. C'est une fraction rationnelle.
Il ne faut pas oublier que:, cette forme peut être très utile dans certains cas.
Egalité de deux polynômes
Les polynômes A et B définis par: et sont égaux (on dit aussi identiques), parce que si on développe réduit et ordonne on obtient successivement:
Dans ce cas, le polynôme A-B défini par:
On dit que A-B est le polynôme nul ( on dit aussi identiquement nul ), tous ses coefficients sont nuls.
Remarque
Il ne faut pas confondre l'égalité de deux polynômes et l'égalité des valeurs de deux polynômes pour une même valeur de x:
Les polynômes et ont la même valeur (-5) pour la valeur (?2) de x, mais ces polynômes ne sont pas égaux. Ils n'ont pas la même valeur pour toute les valeurs de x. Leur forme réduite n'est pas la même.
Pour chercher si deux polynômes A et B peuvent avoir la même valeur, on résout l'équation . Pour toute solution de l'équation A et B ont la même valeur.
Pour chercher si deux polynômes A et B sont égaux, on calcule la différence A(x)-B(x). Si on obtient le polynôme nul, alors A et B sont égaux.
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