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Systèmes linéaires
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Système linéaire de deux équations à deux inconnues

est un système de deux équations du premier degré à deux inconnues réelles x et y.
Cela signifie qu'il existe deux conditions (on dit aussi contraintes) à satisfaire pour les deux inconnues x et y.
Pour obtenir deux égalités numériques il faut donner une valeur à x et une valeur à y, donc une valeur au couple (x,y).
Toute solution du système est donc un couple de nombres tel que si on remplace x par le premier et y par le second dans les deux équations alors les égalités numériques obtenues sont vraies.


Si x=0 et y=1, alors on obtient: . Les deux égalités sont fausses, donc le couple (0,1) n'est pas solution du système.
Si x=0 et y=-1, alors on obtient: . L'une des deux égalités est fausse, donc le couple (0,-1) n'est pas solution du système.
Si x=-1 et y=2, alors on obtient: . Les deux égalités sont vraies, donc le couple (-1,2) est solution du système.

Résoudre le système c'est trouver toutes ses solutions.


Résolution

On considère le système .
Pour que la première égalité soit vraie la seule valeur possible pour x est ?4.
Pour que la seconde égalité soit vraie la seule valeur possible pour y est 3.
On en déduit que les deux égalités sont vraies pour le seul couple (-4,3) qui est la solution unique du système.


En regardant le système ci-dessus , il n'est pas évident de trouver un couple solution. De plus si on trouve le couple (-1,2), rien ne dit qu'il n'existe pas d'autres couples solutions.
On est dans le cas où il est nécessaire de transformer le système en un système qui a les mêmes solutions et en plus visibles.
Dans la partie Transformations, deux chapitres exposent les deux méthodes de transformation d'un système linéaire: la méthode de substitution et la méthode des combinaisons linéaires et on peut les mélanger.


Exemple
Résoudre le système à deux inconnues réelles x et y par les deux méthodes.


1. Méthode de substitution
2. Méthode des combinaisons linéaires






Le système a une solution (-1,2).

devient
donc
devient
donc
D'où le système:


Le système a une solution (-1,2).

Vérification
Il est plus prudent de vérifier si la réponse proposée est exacte. Il suffit pour cela de remplacer x par ?1 et y par 2 dans chaque égalité et on doit obtenir des égalités vraies.


La meilleure méthode
Avec cet exposé des deux méthodes et de leurs inconvénients, il est évident que la méthode de substitution est la plus simple à mettre en ?uvre pratiquement pour tous les systèmes du premier degré.


Unicité de la solution

Dans le cas 1 on est sûr qu'il n'existe pas d'autre solution.

On peut s'assurer de l'existence d'une unique solution: on calcule le nombre appelé déterminant du système.
Si le déterminant est différent de 0, alors le système a une unique solution.

Pour un système de la forme , le déterminant est le nombre: . Pour s'en souvenir on peut dresser ou simplement imaginer le tableau des coefficients de x et y à la place où ils se trouvent et on calcule les produits en croix: première diagonale, moins deuxième diagonale, .
Cette vérification peut être faite en début de résolution par la méthode des combinaisons linéaires.

Dans le cas du système , le déterminant est le nombre , donc 10, qui est différent de 0. On en déduit que le système a une solution unique.

Autres cas

Si le déterminant du système est égal à 0, alors le système n'a pas de solution ou a une infinité de solutions.

Exemples

1.
2.



L'égalité 1 est fausse, donc le système n'a pas de solution.



L'égalité 1 est vraie, donc le système se réduit à la seule équation: .
Cette équation a une infinité de solutions, tous les couples de nombres de la forme , a étant un nombre réel quelconque.


Autres systèmes linéaires

Tout système linéaire peut avoir une solution unique, ou pas de solution, ou une infinité de solutions.
Pour résoudre on peut utiliser les deux méthodes exposées ci-dessus mais la plus simple est la méthode de substitution.


Exemple
On considère le système: de trois équations à trois inconnues.
Toute solution du système est un triplet: une valeur pour chacune des inconnues.


Résolution








Le système a une solution: (-1,1,1).



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