| Les sujets "zéro" du baccalauréat
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| Série ES
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| Exercice 15 (enseignement obligatoire)
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Enoncé.
Partie A
L'évolution de la population d'une région entre 1950 et 1990 a permis de construire le tableau suivant:
| Année |
1950
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1960
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1970
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1980
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1990
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| Population en millions |
2,5
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3
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3,6
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4,4
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5,2
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1- Lorsque désigne le numéro de l'année, on pose . Une décennie correspond alors à une unité. Compléter la seconde ligne du tableau.
2- Construire, à l'aide de ces données, le nuage des points de coordonnées . Les unités graphiques seront de 1 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses et de 2 cm pour 1 million sur l'axe des ordonnées.
3- En première approximation, on peut envisager de représenter la population y comme une fonction affine de l'année x.
a) Expliquer pourquoi les accroissements absolus devraient être constants tous les dix ans.
b) Déterminer l'équation de la droite d'ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés.
c) Quelle prévision ferait-on avec cette approximation pour la population de la région en l'an 2000?
Partie B
En 2000, la population a été en réalité de 6,2 millions. Les démographes intéressés par l'évolution de cette population ont alors modifié l'ajustement du nuage en tenant compte du fait que l'accroissement relatif de cette population est presque constant d'une décennie à l'autre.
1- Vérifier que, pour les valeurs données, cet accroissement est voisin de 20%.
2- Expliquer pourquoi la fonction f, qui à x associe peut être utilisée pour modéliser plus précisément l'évolution de la population étudiée.
3- En utilisant cette modélisation, quelle prévision peut-on faire pour 2005? Quelle aurait été la prévision faite à l'aide de la première approximation?
Solution
Partie A
1- Tableau complété:
| Année |
1950
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1960
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1970
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1980
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1990
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5
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6
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7
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8
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9
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| Population en millions |
2,5
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3
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3,6
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4,4
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5,2
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2- Nuage de points:
3- a) Si on représente la population y comme une fonction affine de l'année x, alors on obtient une relation entre y et x de la forme: .
Si on remplace x par on obtient .
On en déduit que l'accroissement absolu en dix ans : ne dépend pas de l'année, donc doit être constant tous les dix ans.
b) Une équation de la droite d'ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés est .
c) Pour l'année 2000, et dans ce cas .
Avec cette approximation on peut donc prévoir une population de 5.78 millions de personnes en 2000.
Partie B
1-| Année |
1950
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1960
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1970
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1980
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1990
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5
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6
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7
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8
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9
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| Population en millions |
2,5
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3
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3,6
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4,4
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5,2
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| Accroissement relatif d'une décennie à l'autre |
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à 1 unité près
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à 1 unité près
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On vérifie ainsi que pour les valeurs données, l'accroissement relatif est voisin de 20%.
2- Si on représente la population y comme la fonction f, qui à x associe , alors on obtient la relation entre y et x: .
Si on remplace x par on obtient .
L'accroissement relatif de cette population d'une décennie à l'autre est .
On en déduit que l'accroissement relatif d'une décennie à l'autre ne dépend pas de l'année, donc est constant. C'est pourquoi la fonction f, qui à x associe peut être utilisée pour modéliser plus précisément l'évolution de la population étudiée.
3- Pour l'année 2005, , et dans ce cas à 0.1 près.
On peut donc prévoir une population de 6.8 millions de personnes en 2005.
A l'aide de la première approximation on obtient , donc une estimation de 6.12 millions de personnes en 2005.
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