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Les sujets "zéro" du baccalauréat
Série ES
Exercice 18 (enseignement obligatoire)




Enoncé.

On considère la fonction f définie sur par . On note sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal .
Partie A ? Etude de la fonction f
1- Déterminer la limite de f en (on pourra écrire et on rappelle que .
Donner une interprétation graphique de ce résultat.
2- Déterminer f'(x), où f' désigne la fonction dérivée de f. Etudier le signe de f'(x) et en déduire le tableau de variation de f.
3- Construire la courbe sur l'intervalle dans le repère dont les unités sont: 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.


Partie B ? Calcul d'une intégrale
1- Justifier que la fonction F définie sur par , est une primitive de f sur l'intervalle .
2- Calculer la valeur exacte de .


Partie C ? Application
Le nombre f(x) représente le bénéfice en milliers d'euros que réalise une entreprise lorsqu'elle fabrique x centaines de pièces (pour x compris entre 2 et 8). Par exemple, si l'entreprise fabrique 300 pièces, elle réalise un bénéfice de euros.
1- En utilisant si nécessaire la courbe ou les résultats de la partie A, déterminer en justifiant:

a) Les quantités à produire pour que l'entreprise ne travaille pas à perte.
b) La quantité de pièces à produire pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximal. Préciser ce bénéfice à l'euro près.
c) Les quantités de pièces à produire pour que l'entreprise réalise un bénéfice d'au moins 500 euros.

2- Lorsque la production varie entre 300 et 600 pièces, le bénéfice moyen en milliers d'euros est donné par la valeur moyenne de f sur l'intervalle . Déterminer une valeur approchée, arrondie à un euro près, de ce bénéfice moyen.

Solution

Partie A ? Etude de la fonction f
1- Pour tout x de ,

, donc ,
, donc ,
On en déduit: .
Graphiquement cela signifie que la courbe a pour asymptote la droite d'équation .
2-
Pour tout x de , , donc est du signe de .
Tableau de variation de f:


3- Courbe sur l'intervalle :



Partie B ? Calcul d'une intégrale
1- .
Pour tout x de , , donc F est une primitive de f sur l'intervalle .
2- .


Partie C ? Application
1-a) L'entreprise ne travaille pas à perte si le bénéfice est positif ou nul, donc si .
Pour tout x de , , donc est du signe de :
nul pour , strictement négatif pour et strictement positif pour .
On en déduit que pour que l'entreprise ne travaille pas à perte, il faut qu'elle produise de 250 à 800 pièces.

b) D'après l'étude de f, f est maximale pour la valeur de x, donc le bénéfice est maximal si l'entreprise produit 350 pièces.
Le bénéfice maximal est euros à 1 euro près.
c) La droite d'équation coupe la courbe représentative de f aux deux points d'abscisses 3 et 4.2, et elle est au-dessus de cette droite pour tout x compris entre 3 et 4.2.
On en déduit que l'entreprise réalise un bénéfice d'au moins 5000 euros si elle produit entre 300 et 420 pièces.

2- La valeur moyenne de f sur l'intervalle est le nombre:
.
à 0.0001 près.
Lorsque la production varie entre 300 et 600 pièces , le bénéfice moyen est donc égal à 4235 euros à 1 euro près.






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