Les sujets "zéro" du baccalauréat
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Série ES
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Exercice 18 (enseignement obligatoire)
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Enoncé.
On considère la fonction f définie sur par . On note sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal . Partie A ? Etude de la fonction f 1- Déterminer la limite de f en (on pourra écrire et on rappelle que . Donner une interprétation graphique de ce résultat. 2- Déterminer f'(x), où f' désigne la fonction dérivée de f. Etudier le signe de f'(x) et en déduire le tableau de variation de f. 3- Construire la courbe sur l'intervalle dans le repère dont les unités sont: 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.
Partie B ? Calcul d'une intégrale 1- Justifier que la fonction F définie sur par , est une primitive de f sur l'intervalle . 2- Calculer la valeur exacte de .
Partie C ? Application Le nombre f(x) représente le bénéfice en milliers d'euros que réalise une entreprise lorsqu'elle fabrique x centaines de pièces (pour x compris entre 2 et 8). Par exemple, si l'entreprise fabrique 300 pièces, elle réalise un bénéfice de euros. 1- En utilisant si nécessaire la courbe ou les résultats de la partie A, déterminer en justifiant: a) Les quantités à produire pour que l'entreprise ne travaille pas à perte. b) La quantité de pièces à produire pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximal. Préciser ce bénéfice à l'euro près. c) Les quantités de pièces à produire pour que l'entreprise réalise un bénéfice d'au moins 500 euros. 2- Lorsque la production varie entre 300 et 600 pièces, le bénéfice moyen en milliers d'euros est donné par la valeur moyenne de f sur l'intervalle . Déterminer une valeur approchée, arrondie à un euro près, de ce bénéfice moyen.
Solution
Partie A ? Etude de la fonction f 1- Pour tout x de ,
, donc , , donc , On en déduit: . Graphiquement cela signifie que la courbe a pour asymptote la droite d'équation . 2- Pour tout x de , , donc est du signe de . Tableau de variation de f:
3- Courbe sur l'intervalle :
Partie B ? Calcul d'une intégrale 1-. Pour tout x de , , donc F est une primitive de f sur l'intervalle . 2-.
Partie C ? Application 1-a) L'entreprise ne travaille pas à perte si le bénéfice est positif ou nul, donc si . Pour tout x de , , donc est du signe de : nul pour , strictement négatif pour
et strictement positif pour
. On en déduit que pour que l'entreprise ne travaille pas à perte, il faut qu'elle produise de 250 à 800 pièces. b) D'après l'étude de f, f est maximale pour la valeur de x, donc le bénéfice est maximal si l'entreprise produit 350 pièces. Le bénéfice maximal est euros à 1 euro près. c) La droite d'équation coupe la courbe représentative de f aux deux points d'abscisses 3 et 4.2, et elle est au-dessus de cette droite pour tout x compris entre 3 et 4.2. On en déduit que l'entreprise réalise un bénéfice d'au moins 5000 euros si elle produit entre 300 et 420 pièces. 2- La valeur moyenne de f sur l'intervalle est le nombre: . à 0.0001 près. Lorsque la production varie entre 300 et 600 pièces , le bénéfice moyen est donc égal à 4235 euros à 1 euro près.
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