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Les sujets "zéro" du baccalauréat Série ES Exercice 28 (enseignement obligatoire) Enoncé Une société de crédit propose à ses clients de mettre à leur disposition une somme s de 6000 ? remboursable par des prélèvements mensuels fixes de 300 ?. Le taux d'intérêt mensuel annoncé est 1.5%. On se propose de déterminer le nombre de mois nécessaires au remboursement de cette somme et le montant effectivement payé par chaque client. Si le montant dû le dernier mois est inférieur à 300 ?, le client paye le forfait de 300 ?. On pose et on appelle le montant restant à rembourser après n prélèvements mensuels. 1-Montrer que . Calculer puis . 2-Montrer de manière générale que pour tout entier naturel , . 3-On considère la suite définie pour tout entier n par . a) Montrer que est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison. b) Calculer alors puis en fonction de . 4-Combien de mois sont-ils nécessaires à l'extinction de la dette? Calculer le montant S effectivement payé pour rembourser la somme s de 6000 ?. Solution 1- Le taux mensuel est 1.5%, donc le coefficient multiplicateur est . Le montant restant à rembourser après 1 prélèvement mensuel est la différence entre le capital restant dû et le remboursement effectué, donc . Le montant restant à rembourser après 2 prélèvements mensuels est la différence entre le capital restant dû et le remboursement effectué, donc . 2- De manière générale, le montant restant à rembourser après n+1 prélèvements mensuels est la différence entre le capital restant dû et le remboursement effectué, donc . 3-a) Pour tout entier naturel n , donc la suite est géométrique de raison 1.015. , donc le premier terme de la suite est ?14000. b) On en déduit . Pour tout entier n , donc . 4-On résout l'inéquation d'inconnue n. On obtient successivement: La fonction ln est strictement croissante sur l'intervalle , donc: Le nombre est strictement positif, donc on en déduit: est strictement compris entre 22.9 et 23, donc les solutions de l'inéquation sont tous les nombres entiers supérieurs ou égaux à 23. La plus petite solution est 23, donc 23 mois seront nécessaires à l'extinction de la dette. , donc le montant S effectivement payé pour rembourser la somme s de 6000 ? en 23 mensualités de 300 ? est 6900 ?. Retour