| Les sujets "zéro" du baccalauréat
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| Série S
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| Exercice 2 (enseignement obligatoire)
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Enoncé
Le plan est rapporté à un repère orthogonal .
1- On désigne par C la courbe représentative de la fonction exponentielle qui à x associe . Pour tout point M d'abscisse t appartenant à C, on considère le point P de coordonnées (t,0) et le point N, point d'intersection de la tangente en M à C avec l'axe des abscisses.
Montrer que la distance PN est constante.
2- Dans la suite de l'exercice, f désigne une fonction définie sur R; strictement positive, dérivable et dont la dérivée est strictement positive. Pour tout point M d'abscisse t appartenant à la courbe représentative de f, on considère le point P de coordonnées (t,0) et le point N, point d'intersection de la tangente en M à la courbe représentative de f avec l'axe des abscisses.
(a) Calculer la distance PN en fonction de f(t) et de f'(t).
(b) Déterminer une équation différentielle vérifiée par les fonctions f définies sur R, strictement positives, dérivables et dont la dérivée est strictement positive, pour lesquelles la distance PN est une constante k.
(c) Déterminer les fonctions f solutions de .
Solution
1-L'équation de la tangente en M à C est , donc le point N a pour abscisse x telle que . On obtient .
, donc , donc la distance PN est constante de valeur 1.
2-(a) f est dérivable, donc l'équation de la tangente en M à la courbe représentative de f est , donc le point N a pour abscisse x telle que . On obtient successivement:
On en déduit: .
f est strictement positive et f' est strictement positive, donc , donc .
(b) Les fonctions f définies sur R, strictement positives, dérivables et dont la dérivée est strictement positive, pour lesquelles la distance PN est une constante k vérifie donc l'équation différentielle .
(c) L'équation différentielle s'écrit , donc les fonctions solutions sont les fonctions qui à t associent , A étant un réel quelconque.
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