| Les sujets "zéro" du baccalauréat
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| Série S
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| Exercice 5 (enseignement obligatoire)
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Enoncé
Le plan est rapporté à un repère orthonormal .
On note et les courbes représentatives respectives des fonctions exponentielle et logarithme népérien. |
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Soit A le point de d'abscisse 0 et B le point de d'abscisse 1.
1- (a) Ecrire les équations de la tangente D à la courbe au point A et de la tangente à la courbe au point B.
(b) Montrer que les droites D et sont parallèles. Quelle est leur distance?
2- (a) Démontrer que la courbe est située entièrement "au-dessus" de D.
(b) Démontrer que la courbe est située entièrement "au-dessous" de .
(c) On désigne par M un point quelconque de et par N un point quelconque de . Expliquer pourquoi .
Solution
1- (a) Le point A a pour coordonnées (0,1) et , donc l'équation de la tangente D à la courbe au point A est , donc .
Le point B a pour coordonnées (1,0) et , donc l'équation de la tangente à la courbe au point B est , donc .
(b) Les droites D et ont le même coefficient directeur, donc elles sont parallèles. La droite (AB) a pour équation , son coefficient directeur est ?1. Le produit du coefficient directeur des tangentes et de la droite (AB) est ?1, donc, puisque le repère est orthonormal, les deux tangentes sont perpendiculaires à la droite (AB). La distance des deux tangentes est donc la distance AB. Cette distance est le nombre .
2- (a) On considère les points M(x,exp(x)) appartenant à et P(x,x+1) appartenant à D, x étant un réel quelconque. .
Soit , alors . On en déduit le tableau de variation de la fonction f:
On en déduit que pour tout x de , , donc la courbe est située entièrement "au-dessus" de D.
(b) On considère les points M(x,ln(x)) appartenant à et P(x,x-1) appartenant à , x étant un réel strictement positif. .
Soit , alors . On en déduit le tableau de variation de la fonction g:
On en déduit que pour tout x de , , donc la courbe est située entièrement "au-dessous" de .
(c) On désigne par M un point quelconque de et par N un point quelconque de . D'après la question (a), M est au-dessus de D. D'après la question (b), N est au-dessous de , donc et comme , alors .
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