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Les sujets "zéro" du baccalauréat
Série S
Exercice 6 (enseignement obligatoire)




Enoncé

Le plan est rapporté à un repère orthonormal .

Soit f la fonction définie sur par:
1- Faire apparaître sur l'écran de la calculatrice graphique la courbe représentative de cette fonction dans la fenêtre:
, .
Reproduire l'allure de la courbe obtenue sur la copie.
2- D'après cette représentation graphique, que pourrait-on conjecturer:

(a) sur les variations de la fonction f?
(b) sur le nombre de solutions de l'équation ?
3- On se propose maintenant d'étudier la fonction f.
(a) Résoudre dans l'inéquation .
(b) Etudier les variations de la fonction f.
(c) Déduire de cette étude le nombre de solutions de l'équation .

4- On veut représenter, sur l'écran d'une calculatrice, la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle [-0.05;0.15], de façon à visualiser les résultats de la question 3.
Quelles valeurs extrêmes de l'ordonnée y peut-on choisir pour la fenêtre de la calculatrice?


Solution

1- Allure de la courbe obtenue:

2- D'après cette représentation graphique,
(a) on constate que la courbe monte de gauche à droite, donc on peut supposer que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [-5,4];
(b) on constate que la courbe coupe l'axe des abscisses en un point, donc on peut supposer que le nombre de solutions de l'équation dans l'intervalle [-5,4] est 1.

3- (a) On résout dans l'inéquation .
a deux racines 1 et 1.1, donc il s'écrit: . On en déduit que l'inéquation s'écrit: .
Tableau de signe de :

D'après le tableau ci-dessus, les solutions de l'inéquation sont tous les réels inférieurs à 0 ou supérieurs à .
(b)
On en déduit que pour tout x de , f'(x) est du signe de p(x), d'où le tableau de variation de f:

(c)

- D'après le tableau de variation de f, pour tout x inférieur à 0 .
- et à 0.0001 près, donc pour tout x compris entre 0 et ln(1.1) .
- f est dérivable, donc continue sur l'intervalle et strictement croissante sur l'intervalle ,
f(ln(1.1))<0 et , donc l'équation a une solution unique strictement supérieure à ln(1.1).

On déduit de cette étude que l'équation a deux solutions: 0 et un nombre a strictement supérieur à ln(1.1).
4-Pour visualiser les résultats de la question 3, il faut voir la courbe entière du point d'abscisse -0.05 au point d'abscisse 0.15.
à 0.000001 près et à 0.000001 près, donc .
et à 0.000001 près, donc .
Pour représenter, sur l'écran d'une calculatrice, la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle [-0.05;0.15], de façon à visualiser les résultats de la question 3, on peut donc choisir pour la fenêtre de la calculatrice les valeurs extrêmes de l'ordonnée y: -0.0002 et 0.00008 (figure ci-dessous).






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