| Les sujets "zéro" du baccalauréat
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| Série S
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| Exercice 7 (enseignement obligatoire)
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Enoncé
NB: Les quatre propositions peuvent être examinées indépendamment les unes des autres.
On considère une suite positive et la suite définie par .
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier dans chaque cas.
1- Pour tout n,
.
2- Si la suite est convergente, alors la suite est convergente.
3- Si la suite est croissante, alors la suite est croissante.
4- Si la suite est convergente, alors la suite est convergente.
Solution
1- Réponse: vrai
Pour tout n,
.
Pour tout n, , donc , donc .
Pour tout n, .
Pour tout n, , donc .
2- Réponse: vrai
Si la suite positive est convergente, alors , donc , donc a une limite réelle et la suite est convergente.
3- Réponse: vrai
Pour tout n,
Pour tout n, , donc est de même signe que .
On en déduit que si la suite est croissante, alors la suite est croissante.
4- Réponse: faux
Pour tout n, , donc .
Puisque
, alors , donc .
Si la suite est convergente, alors
, donc, si la limite de est égale à 1, alors la limite de la suite est et la suite est divergente.
Exemple: si ; alors , donc la limite de est 1, et est divergente.
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