| Les sujets "zéro" du baccalauréat
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| Série S
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| Exercice 9 (enseignement obligatoire)
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Enoncé
1- Etudier les variations de la fonction f définie sur par .
En déduire que l'équation a une unique solution. En donner une valeur approchée à 0.001 près.
2-On considère l'équation (E) , x étant un nombre réel.
(a) Montrer que toutes les solutions de cette équation appartiennent à l'intervalle [-2,2].
(b) Donner, en le justifiant, le nombre de solutions de l'équation (E).
(c) Donner une valeur approchée, à 0.001 près par défaut, de la plus grande solution.
Solution
1-
Pour tout x de ,
, donc
.
On en déduit que la fonction f est strictement croissante sur .
Pour tout x de , est compris entre ?1 et 1, donc et . De plus, f est continue et strictement croissante sur , donc l'équation a une unique solution dans .
Une valeur approchée de cette solution à 0.001 près est ?0.739.
2- (a) On considère l'équation (E): , x étant un nombre réel.
Toute solution de cette équation est un nombre x tel que . Puisque pour tout x de , est compris entre -1 et 1, alors toute solution de l'équation est un nombre x tel que est compris entre -1 et 1, donc x est compris entre -2 et 2. On en déduit que toutes les solutions de cette équation appartiennent à l'intervalle [-2,2].
(b).La fonction g définie sur [-2,2] par est impaire.
, donc g' s'annule dans l'intervalle [0,2] pour la seule valeur .
Tableau de variation de g pour x appartenant à l'intervalle [0,2]:
et à 0.01 près.
g est continue et strictement décroissante sur l'intervalle , et , donc l'équation (E) a une solution unique entre et 2.
De l'étude précédente on déduit que l'équation (E) a une solution égale à 0 et une solution comprise entre et 2 et , puisqu'elle est impaire, une solution comprise entre ?2 et .
(c) Une valeur approchée, à 0.001 près par défaut, de la plus grande solution est 1.895 à 0.001 près par défaut.
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