Les sujets "zéro" du baccalauréat
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Série S
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Exercice 11 (enseignement obligatoire)
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Enoncé
L'espace est rapporté à un repère orthonormal . 1- Déterminer une équation du plan P passant par le point A(1,0,1) et de vecteur normal
. 2- Soit P' le plan d'équation et M le point de coordonnées (0,1,1). (a) Sachant que deux plans sont perpendiculaires si un vecteur non nul normal à l'un est orthogonal à un vecteur non nul normal à l'autre, démontrer que les plans P et P' sont perpendiculaires. (b) Calculer les distances d et d' du point M aux plans P et P' respectivement. 3- (a) Donner une représentation paramétrique de la droite D intersection des plans P et P'. (b) Déterminer les coordonnées du point H de D tel que la droite (MH) soit perpendiculaire à la droite D. (c) Vérifier que .
Solution
1- Une équation du plan P de vecteur normal
est de la forme: . Si P passe par le point A(1,0,1), alors:, donc . Une équation du plan P passant par le point A(1,0,1) et de vecteur normal
est donc .
2- (a) Un vecteur normal au plan P a pour coordonnées . n vecteur normal au plan P' a pour coordonnées . . Le produit scalaire des deux vecteurs est nul , donc les vecteurs sont orthogonaux, donc les plans sont perpendiculaires. (b) A(1,0,1) est un point du plan P de vecteur normal
. Le vecteur a pour coordonnées . et la norme du vecteur est: . La distance d du point M au plan P est donc égale à: . B(0,0,1) est un point du plan P' de vecteur normal
. Le vecteur a pour coordonnées . et la norme du vecteur est: . La distance d' du point M au plan P' est donc égale à: . 3- (a) Les coordonnées des points de la droite D intersection des deux plans sont (x,y,z) solution du système: . t étant un nombre réel, on obtient successivement:
On en déduit une représentation paramétrique de la droite D intersection des plans P et P': . (b) D'après 3- (a), les coordonnées des points de la droite D intersection des deux plans sont (x,y,z) telles que: , donc un vecteur directeur de D a pour coordonnées . Si H a pour coordonnées , le vecteur a pour coordonnées . La droite (MH) est perpendiculaire à la droite D si et seulement si les deux vecteurs sont orthogonaux donc si leur produit scalaire est nul. On obtient: , donc . De plus le point H est un point de D, donc (x;y;z) est solution du système: . On résout le système:
Les coordonnées du point H sont . (c) Le vecteur a pour coordonnées , donc . . On en déduit que .
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