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Les sujets "zéro" du baccalauréat
Série S
Exercice 11 (enseignement obligatoire)




Enoncé

L'espace est rapporté à un repère orthonormal .
1- Déterminer une équation du plan P passant par le point A(1,0,1) et de vecteur normal .
2- Soit P' le plan d'équation et M le point de coordonnées (0,1,1).

(a) Sachant que deux plans sont perpendiculaires si un vecteur non nul normal à l'un est orthogonal à un vecteur non nul normal à l'autre, démontrer que les plans P et P' sont perpendiculaires.
(b) Calculer les distances d et d' du point M aux plans P et P' respectivement.

3- (a) Donner une représentation paramétrique de la droite D intersection des plans P et P'.
(b) Déterminer les coordonnées du point H de D tel que la droite (MH) soit perpendiculaire à la droite D.
(c) Vérifier que .


Solution

1- Une équation du plan P de vecteur normal est de la forme: .
Si P passe par le point A(1,0,1), alors: , donc .
Une équation du plan P passant par le point A(1,0,1) et de vecteur normal est donc .


2- (a) Un vecteur normal au plan P a pour coordonnées . n vecteur normal au plan P' a pour coordonnées .
. Le produit scalaire des deux vecteurs est nul , donc les vecteurs sont orthogonaux, donc les plans sont perpendiculaires.
(b) A(1,0,1) est un point du plan P de vecteur normal . Le vecteur a pour coordonnées .
et la norme du vecteur est: .
La distance d du point M au plan P est donc égale à: .
B(0,0,1) est un point du plan P' de vecteur normal . Le vecteur a pour coordonnées .
et la norme du vecteur est: .
La distance d' du point M au plan P' est donc égale à: .
3- (a) Les coordonnées des points de la droite D intersection des deux plans sont (x,y,z) solution du système: .
t étant un nombre réel, on obtient successivement:


On en déduit une représentation paramétrique de la droite D intersection des plans P et P':
.
(b) D'après 3- (a), les coordonnées des points de la droite D intersection des deux plans sont (x,y,z) telles que:
, donc un vecteur directeur de D a pour coordonnées .
Si H a pour coordonnées , le vecteur a pour coordonnées .
La droite (MH) est perpendiculaire à la droite D si et seulement si les deux vecteurs sont orthogonaux donc si leur produit scalaire est nul. On obtient: , donc .
De plus le point H est un point de D, donc (x;y;z) est solution du système: .
On résout le système:






Les coordonnées du point H sont .
(c) Le vecteur a pour coordonnées , donc .
.
On en déduit que .





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