| Les sujets "zéro" du baccalauréat
|
| Série S
|
| Exercice 15 (enseignement obligatoire)
|
Enoncé
Soit I l'intervalle [0,1]. On considère la fonction f définie sur I par .
1- Etudier les variations de f et en déduire que, pour tout x élément de I, f(x) appartient à I.
2- On considère la suite () définie par
et
Montrer que, pour tout n, appartient à I.
On se propose d'étudier la suite () par deux méthodes différentes.
Première méthode:
3- (a) Représenter graphiquement f dans un repère orthonormal d'unité graphique 10 cm.
(b) En utilisant le graphique précédent, placer les points , , et d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives points , , et .
Que suggère le graphique concernant le sens de variation de () et sa convergence?
(c) Etablir la relation et en déduire le sens de variation de la suite ().
(d) Démontrer que la suite () est convergente.
(e) Prouver que la limite l de la suite () vérifie et calculer l.
Deuxième méthode:
On considère la suite () définie par .
4- (a) Prouver que () est une suite géométrique de raison .
(b) Calculer et exprimer en fonction de n.
(c) Exprimer en fonction de , puis en fonction de n.
(d) En déduire la convergence de la suite () et sa limite.
Solution
1-
Pour tout x élément de I, , donc f est strictement croissante sur I.
Tableau de variation de f:
Pour tout x élément de I, f(x) est compris entre et , donc f(x) appartient à I.
2- On considère la suite () définie par: et
- Pour tout n, , donc, d'après 1-, si appartient à I, alors appartient à I.
-, donc appartient à I.
On en déduit: pour tout n, appartient à I.
Première méthode d'étude de la suite ():
3- (a) (b) Représentation graphique de f :
Le graphique suggère que la suite () est croissante et converge vers 1.
(c)
Pour tout x de , a deux racines réelles, 1 et ?2, donc .
On en déduit:
Pour tout n, , donc .
Pour tout n, , donc et .
On en déduit que, pour tout n, , donc la suite () est croissante.
(d) La suite est croissante et, puisqu'elle est majorée par 1, alors elle est convergente.
(e) Soit l la limite de la suite. Pour tout n, , et f est continue sur [0,1], donc en l, donc .
l est solution de l'équation .
On obtient:
ou
-2 n'appartient pas à [0,1] et 1 appartient à [0,1], donc l=1.
Deuxième méthode d'étude de la suite :
4- (a)
Pour tout n, , donc la suite () est géométrique de raison .
(b)
Pour tout n,
(c), donc .
On en déduit: .
Pour tout n, , donc .
D'où: .
On remplace par sa valeur en fonction de n:
(d) est compris entre 0 et 1, donc .
On en déduit .
Retour
|
|
|