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Les sujets "zéro" du baccalauréat
Série S
Exercice 16 (enseignement obligatoire)




Enoncé

Dans l'espace muni du repère orthonormal , on considère les points:
A , B et C .
1- Placer sur une figure les points A, B et C dans le plan .
2- Montrer que le triangle ABC est équilatéral et que O est son centre.
3- (a) Déterminer l'ensemble des points M de l'espace équidistants des points A et B.

(b) Déterminer l'ensemble des points N de l'espace équidistants des points B et C.
(c) En déduire que l'ensemble des points P de l'espace équidistants des points A, B et C est l'axe .

4- Montrer qu'il existe un unique point D dont la troisième coordonnée est positive tel que le tétraèdre ABCD soit régulier et calculer ses coordonnées.
5- Soit M un point quelconque du segment [CD]. On pose avec appartenant à l'intervalle [0,1].

(a) Montrer que .
On définit une fonction f de dans par la relation: .
(b) Etudier les variations de la fonction f.
(c) En déduire la position de M pour laquelle l'angle est maximum.
(d) Quelle est la valeur de ce maximum?


Solution

1-


2- On va calculer AB, BC et AC pour prouver qu'ils sont égaux (les composantes en z sont omises, elles sont toutes égales à 0):













donc AB=AC=BC, donc ABC est équilatéral.

Calculons maintenant OA, OB et OC:







Donc OA=OB=OC, et O est le centre de ABC.

3- a) Posons M(x,y,z). M est tel que MA=MB, ce qui équivaut à (puisque et ), ce qui équivaut à:

ce qui équivaut à
ce qui équivaut à
ce qui équivaut à


L'ensemble recherché est donc le plan P d'équation .

b) Posons M(x,y,z). M est tel que MB=MC, ce qui équivaut à (puisque et ), ce qui équivaut à:

ce qui équivaut à
ce qui équivaut à


L'ensemble recherché est donc le plan P' d'équation y=0.

c) L'ensemble recherché est l'ensemble des points tels que MA=MB=MC, soit MA=MB et MB=MC, donc l'ensemble recherché est la droite d'intersection de P et de P', d'équation:

soit


Donc l'ensemble recherché est bien .

4- Soit D tel que ABCD soit régulier. On a alors DA=DB=DC, donc D appartient à . Si on pose D , on a donc et . De plus, on doit avoir . Soit:

soit
soit
ou .


Donc il existe un unique D tel que ABCD soit régulier et de troisième composante positive, D .

5- a) donc


Posons M(x,y,z). On sait que , donc:

. D'où:

et



Donc:







Calculons maintenant MA et MB:











On en déduit:

soit
.


b) Le polynôme n'a pas de racine (le discriminant vaut 1-4=-3), donc pour tout . Donc f est définie et dérivable sur . Calculons maintenant f':

soit


Donc f' est du signe de . Voici le tableau de variations de f:

eq tvar(3,6,x,|minf|,|pinf|,1/4,f',,-,0,+,,f,1,|flebas|,5/13,|flehaut|,1) /eq

c) L'angle est compris entre 0 et ; donc pour que soit maximum, il faut que soit minimum. Le minimum étant , M tel que soit maximum est tel que .

d) donc:






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