| Les sujets "zéro" du baccalauréat
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| Série S
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| Exercice 17 (enseignement de spécialité)
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Enoncé
PARTIE I
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Soit ABC un triangle rectangle en B, direct: .
Soit E un point du segment [AB]. Par le point E on mène une droite d qui coupe le segment [AC] en un point F et la droite (BC) en un point G (voit figure ci-contre). On suppose que les points E, F, G sont distincts des points A,B, C.
Le cercle circonscrit au triangle ABC et le cercle circonscrit au triangle BEG se coupent en deux points distincts B et K. |
1- Justifier l'existence d'une similitude plane directe telle que et .
Déterminer l'angle de .
2- Soit le centre de .
(a) Montrer que appartient aux cercles et .
(b) Prouver que est différent de B.
(c) Que peut-on en déduire pour ?
PARTIE II
Le plan complexe est rapporté à un repère orthogonal direct d'unité graphique 2 cm. Les affixes respectives des points A, B, C, E, F et G sont donnés par:
, ,,,,,
On admettra que le point F est le point d'intersection du segment [AC] et de la droite (GE) et que les conditions de la partie I sont vérifiées.
1- Placer ces points sur une figure et, à l'aide des résultats de la partie I, construire le point , centre de la similitude .
2- Soit la similitude plane directe telle que et . Déterminer l'écriture complexe de et déterminer l'affixe du centre de .
3- Montrer que les points et sont confondus.
Solution
PARTIE I
1- Il existe une unique similitude directe S telle que et car A et E ne sont pas confondus par hypothèse. L'angle est l'angle , soit .
2- a) Le triangle EG est rectangle en . Donc |WM| appartient à . De même, AC est rectangle en . Donc appartient à .
b) Supposons que B soit le centre de . Alors où r est la rotation de centre B et d'angle , et h l'homothétie de centre B et de rapport . De même, , où h' est l'homothétie de centre B et de rapport . On a donc:
.
Donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, (AC) est parallèle à (EG). Or ces deux droites sont sécantes par hypothèse, d'où contradiction. Donc est différent de B.
c) On en déduit que .
PARTIE II
1-
2- Posons la représentation de . On a:
et . Donc:
ce qui équivaut à
ce qui équivaut à
ce qui équivaut à
ce qui équivaut à
ce qui équivaut à
ce qui équivaut à
.
Donc .
L'affixe z' de vérifie . Donc:
soit
soit
soit
soit
soit
.
3- appartient à et . Cela signifie que:
ce qui équivaut à
ce qui équivaut à
.
Essayons :
et .
Donc appartient à et , et comme n'est pas B, c'est . CQFD!
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