| Les sujets "zéro" du baccalauréat
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| Série S
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| Exercice 19 (enseignement obligatoire)
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Enoncé
Soit ABCDEFGH un cube de côté 1.
On choisit le repère orthonormal , avec , et .
On appelle I, J, K, L, M et N les milieux respectifs des segments [BC], [CD], [DH], [HE], [EF] et [FB]. |
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1- Déterminer les coordonnées des points I, K, M.
2- Montrer que les six points I, J, K, L, M et N sont coplanaires dans un plan que l'on notera P (on donnera une équation du plan P dans le repère choisi).
3- Montrer que le vecteur est un vecteur normal au plan P.
4- Montrer que les projetés orthogonaux des points I, J, K, L, M et N sur la droite (AG) sont confondus en un même point. On appellera T ce point.
Déterminer la position du point T sur le segment [AG].
5- Montrer que IJKLMN est un hexagone inscriptible dans un cercle dont on précisera le centre et le rayon et montrer que tous ses côtés ont même longueur.
6- On considère la pyramide ayant pour base cet hexagone et pour sommet le point G.
Quelle fraction du volume du cube représente le volume de cette pyramide?
Solution
1- Les coordonnées sont les suivantes:
, ,
2- Soit P le plan défini par I, K et M. Posons l'équation de P. Comme I, K et M appartiennent à P, on a:
ce qui équivaut à
ce qui équivaut à
ce qui équivaut à
ce qui équivaut à
ce qui équivaut à
ce qui équivaut à
ce qui équivaut à
Posons , on en déduit une équation du plan P:
.
Vérifions que appartient à P:
donc J appartient à P.
Vérifions que appartient à P:
donc L appartient à P.
Vérifions que appartient à P:
donc N appartient à P.
3- Les coordonnées de sont donc est normal au plan.
4- est normal 0 P donc le projeté orthogonal sur (AG) de I appartient à P; de même pour J, K, L, M et N. Donc ces projetés orthogonaux sont confondus en le point d'intersection de (AG) et P. La droite (AG) a pour équation , donc T vérifie:
soit
. Donc T est le milieu de .
5-
Donc I, J, K, M, L et N sont sur le cercle de centre T et de rayon .
.
Donc IJKLMN est régulier.
6- Soit H le milieu de [IJ]. C'est le pied de la hauteur de IJT issu de T puisque IJT est isocèle. Les coordonnées de H sont .
.
Comme IJKLMN est régulier:
donc
donc
.
Donc le volume de la pyramide est:
donc
donc
.
Donc l'aire de la pyramide est de trois huitièmes de celle du cube.
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