| Les sujets "zéro" du baccalauréat
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| Série S
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| Exercice 20 (enseignement obligatoire)
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Enoncé
Les questions sont indépendantes. Il est demandé de justifier toutes les réponses fournies.
1- Dans chacun des cas suivants, proposer une fonction f qui vérifie les propriétés données.
On donnera l'expression de f(x).
(a) f est définie sur par , la limite de f en est et l'équation admet deux solutions, 0 et ln(2).
(b) f est définie sur par et, pour tout x et tout y réels strictement positifs, .
(c) f est une fonction polynôme de degré supérieur ou égal à 2 et la valeur moyenne de f sur [-2,2] est 0.
2- Soit g une fonction définie et dérivable, de dérivée g' continue sur [-1,1]. La courbe représentative de g est donnée ci-dessous.
Les affirmations suivantes sont-elles cohérentes avec le schéma:
(a) ?
(b) ?
Solution
1- (a) f est définie sur par et la limite de f en est .
Premier cas: Supposons que a est différent de 0.
Pour tout x de , , donc la limite de f en est si ou si .
Donc il faut choisir a strictement positif.
L'équation admet deux solutions, 0 et ln(2) signifie que .
Ce système s'écrit .
On obtient successivement:
Les conditions sur a, b et c sont donc: .
On peut donc proposer: . Dans ce cas f est définie sur par .
Deuxième cas: Supposons que a est égal à 0 et b est différent de 0.
Dans ce cas la limite de f en est si ou si .
Donc il faut choisir b strictement positif.
L'équation admet deux solutions, 0 et ln(2) signifie que .
Ce système s'écrit . On obtient: .
On en déduit qu'il n'est pas possible de proposer une fonction f qui vérifie les propriétés données.
Si on suppose que a et b sont nuls, alors il n'est pas possible de proposer une fonction f telle que la limite de f en est , donc qui vérifie les propriétés données.
(b) Une fonction définie sur et qui vérifie: pour tout x et tout y réels strictement positifs, est la fonction logarithme népérien.
Si on considère la fonction f définie sur par , alors: équivaut à , donc .
Une fonction f qui vérifie les propriétés données est la fonction f définie sur par .
(c) Si la valeur moyenne de f sur [-2,2] est 0, alors F, une primitive de f sur [-2,2], est une fonction paire. Puisque f est une fonction polynôme de degré n, alors F est une fonction polynôme de degré n+1. Si on propose la fonction F définie sur par , alors la fonction f est définie sur par .
2- (a) Une primitive de g' sur [0,1] est g, donc .
D'après le graphique et , donc .
L'affirmation est donc cohérente avec le schéma.
(b) D'après le graphique l'aire, en unités d'aire, de la portion de plan limitée par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation et est égale à . Sur le graphique on constate que cette aire est inférieure à unité d'aire.
On en déduit: à , donc
L'affirmation est donc cohérente avec le schéma.
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