| Les sujets "zéro" du baccalauréat
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| Série S
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| Exercice 22 (enseignement obligatoire)
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Enoncé
Partie A
On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie sur l'intervalle par: .
Elle est dérivable sur l'intervalle . On note f' sa dérivée.
On note C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal .
1- Démonstration de cours. Déterminer la limite en de la fonction qui à x associe .
2- Déterminer la limite de f en (on pourra pour cela justifier et exploiter l'écriture, pour tout x réel strictement positif, ).
Interpréter graphiquement le résultat.
3- Pour x élément de , calculer .
4- Déduire des questions précédentes le tableau de variation de f.
5- Tracer la courbe C (unité graphique: 2 cm).
Partie B
On considère la suite définie pour tout entier naturel n non nul par .
1- Interpréter géométriquement .
2- Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul,
.
3- En déduire que la suite est décroissante.
4- Prouver la convergence de la suite et déterminer sa limite.
Partie C
On considère la fonction numérique F de la variable réelle x définie sur par: .
1- (a) Montrer que F est dérivable sur et calculer F'(x).
(b) En déduire le sens de variation de F.
2- (a) Démontrer que, pour tout réel t positif, .
(b) En déduire que, pour tout x de l'intervalle , .
(c) A l'aide d'une intégration par parties, montrer que, pour tout x appartenant à ,
.
(d) En déduire que, pour tout x appartenant à ,
.
3- On note, pour tout entier naturel n non nul, la somme des n-1 premiers termes de la suite . Exprimer à l'aide d'une intégrale. Montrer que la suite converge et donner un encadrement de sa limite.
Solution
Partie A
1- Démonstration de cours
On considère la fonction définie sur par .
La fonction f' est définie sur par .
Pour tout x de
, donc .
On en déduit le tableau de variation de f:
D'après le sens de variation de f, pour tout x de , , donc .
On en déduit que pour tout x de , , donc .
La limite de quand x tend vers est , donc la limite de quand x tend vers est .
2- Pour tout x de ,
, donc
, donc
On en déduit .
Cela signifie graphiquement que la courbe représentative de f a pour asymptote l'axe des abscisses.
3- Pour x élément de
4- Pour tout x de
et , donc f'(x) est du signe de .
Tableau de variation de f:
5- Tracé de la courbe C:
Partie B
1- Pour tout x de
et , donc , donc la courbe représentative de f est au dessus de l'axe des abscisses.
On en déduit que est l'aire en unités d'aire de la portion de plan , colorée sur le graphique, comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation et .
2- La fonction f est strictement décroissante sur , donc sur le graphique les ordonnées des points C et E, respectivement et , sont telles que . Donc pour tout entier n, la partie est comprise entre les rectangles ABEF et ACDF.
On en déduit:
.
Donc:
.
3- D'après 2-, pour tout entier n non nul:
et
.
On en déduit:
.
Donc
.
La suite est donc décroissante.
4- Pour tout entier n non nul, , donc la suite est décroissante et minorée par 0, donc elle converge.
D'après 2-,
De plus, d'après l'étude de f, et , donc .
Partie C
1- (a) La fonction f est dérivable, donc continue sur , donc elle y admet des primitives. La fonction F est la primitive de f sur qui s'annule en 1, donc F est dérivable et la dérivée de F est f.
Donc, pour tout x de , .
(b) Pour tout x de , est du signe de , donc , donc F est strictement croissante sur .
2- (a) Pour tout réel t positif , donc .
On en déduit: .
(b) D'après 2- (a) pour tout t positif , donc .
On en déduit que pour tout x de :
(c) On calcule l'intégrale en effectuant une intégration par parties:
Si alors
On obtient:
(d) D'après (c):
Pour tout x de , , donc:
Pour tout x de , .
De plus, d'après l'étude de F, pour tout x de , , donc:
pour tout x appartenant à ,
.
3- Pour tout entier naturel n non nul,
Pour tout entier naturel n non nul,
, donc la suite est majorée par .
De plus, puisque F est strictement croissante sur , alors la suite est croissante.
On en déduit que la suite converge et sa limite est comprise entre 0 et .
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