| Les sujets "zéro" du baccalauréat
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| Série S
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| Exercice 23 (enseignement obligatoire)
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Enoncé
On considère un cube ABCDEFGH, d'arête de longueur a (a réel strictement positif).
Soit I le point d'intersection de la droite (EC) et du plan (AFH).
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1- Calculer, en fonction de a, les produits scalaires suivants:
, , .
2- En déduire que les vecteurs et sont orthogonaux.
On admettra ce même que les vecteurs et sont orthogonaux.
3- En déduire que le point I est le projeté orthogonal de E sur le plan (AFH). |
4- (a) Justifier les résultats suivants: les droites (AF) et (EH) sont orthogonales, ainsi que les droites (AF) et (EI).
(b) En déduire que la droite (AF) est orthogonale à la droite (HI).
(c) Etablir de même que la droite (AH) est orthogonale à la droite (FI).
5- Que représente le point I pour le triangle AFH?
Solution
1- donc
D'après le théorème de Pythagore appliqué au triangle AEF rectangle en E, on a:
soit
soit
. Donc:
.
soit
car est normal au plan (ABF).
2-
or .
Donc et sont orthogonaux.
3- est normal à deux vecteurs non colinéaires du plan (AFH), donc est normal à (AFH). I étant le point d'intersection de (EC) et (AFH), et comme (EC) est perpendiculaire à (AFH), I est le projeté orthogonal de E sur (AFH).
4- a) (EH) est normal au plan (AEF), puisque nous sommes dans un cube. Donc (AF) est orthogonal à (EH).
(EI) étant la droite (EC), elle est normale au plan (AFH). Donc comme (AF) appartient au plan (AFH), (EI) est orthogonale à (AF).
b) et donc:
soit
.
Donc (AF) est orthogonale à (IH).
c) (FE) est orthogonale au plan (AEH) puisque nous sommes dans un cube, donc (AH) est perpendicualire à (EF).
(EI) étant (EC), elle est orthogonale au plan (AFH), donc (EI) est perpendiculaire au plan (AH). Donc:
et donc:
soit
.
Donc (AH) est orthogonale à (IF).
5) (IF) est la hauteur du triangle AFH issue de F, puisque (FI) est perpendiculaire à (AH); (IH) est la hauteur de AFH issue de H, puisque (IH) est perpendiculaire à (AF).
Donc I est e centre du cercle inscrit à AFH.
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