Les sujets "zéro" du baccalauréat
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Série S
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Exercice 24 (enseignement obligatoire)
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Enoncé
L'espace est rapporté à un repère orthonormal . On considère les points A, B, C et S de coordonnées respectives A(-1,0,1), B(1,4,-1), C(3,-4,-3), S(4,0,4). 1- Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle en A. 2- (a) Montrer que le vecteur est orthogonal aux vecteurs et . (b) En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). 3- (a) Démontrer que O est le barycentre des points A, B, C affectés de coefficients que l'on déterminera. (b) En déduire que O est situé dans le triangle ABC. 4- Calculer le volume V du tétraèdre SABC.
Solution
1- donc donc
donc donc
donc donc . Donc .
Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A.
2- a) Les coordonnées de , et sont: (4,0,4) (2,4,-2) (4,-4,-4) Donc: donc et sont orthogonaux. donc et sont orthogonaux.
b) est un vecteur à (ABC). Donc une équation du plan (ABC) est de la forme: . A appartient à (ABC), donc: . Donc une équation du plan (ABC) est .
3- a) Posons , et tels que O soit barycentre de . Cela équivaut à: , ce qui équivaut à: ce qui équivaut à . Donc O est le barycentre de A, B et C affectés de 4, 1 et 1.
b) 4, 1 et 1 sont du même signe, donc O est à l'intérieur de A B et C.
4). Les coordonnées de et sont: (2,-8,-2) (-2,-4,2)
Donc: . Donc: . Donc: .
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