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Les sujets "zéro" du baccalauréat
Série S
Exercice 24 (enseignement obligatoire)




Enoncé

L'espace est rapporté à un repère orthonormal .
On considère les points A, B, C et S de coordonnées respectives A(-1,0,1), B(1,4,-1), C(3,-4,-3), S(4,0,4).
1- Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle en A.
2- (a) Montrer que le vecteur est orthogonal aux vecteurs et .

(b) En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
3- (a) Démontrer que O est le barycentre des points A, B, C affectés de coefficients que l'on déterminera.
(b) En déduire que O est situé dans le triangle ABC.
4- Calculer le volume V du tétraèdre SABC.

Solution

1- donc
donc

donc
donc

donc
donc
.
Donc .


Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A.

2- a) Les coordonnées de , et sont:
(4,0,4)
(2,4,-2)
(4,-4,-4)
Donc:
donc et sont orthogonaux.
donc et sont orthogonaux.


b) est un vecteur à (ABC). Donc une équation du plan (ABC) est de la forme:
.
A appartient à (ABC), donc:
.
Donc une équation du plan (ABC) est .


3- a) Posons , et tels que O soit barycentre de . Cela équivaut à:
, ce qui équivaut à:
ce qui équivaut à
.
Donc O est le barycentre de A, B et C affectés de 4, 1 et 1.


b) 4, 1 et 1 sont du même signe, donc O est à l'intérieur de A B et C.

4) . Les coordonnées de et sont:
(2,-8,-2)
(-2,-4,2)


Donc:
. Donc:
. Donc:
.





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