| Les sujets "zéro" du baccalauréat
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| Série S
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| Exercice 25 (enseignement obligatoire)
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Enoncé
On se propose d'étudier les fonctions f dérivables sur vérifiant la condition (1):
Pour tout x de , et .
Partie A
On suppose qu'il existe une fonction f qui vérifie (1).
La méthode d'EULER permet de construire une suite de points proches de la courbe représentative de la fonction f. On choisit le pas .
On admet que les coordonnées des points obtenus en appliquant cette méthode avec ce pas vérifient:
et pour tout entier naturel n.
Calculer les coordonnées des points , , , , (on arrondira au millième les valeurs trouvées).
Partie B
On se propose de démontrer qu'une fonction vérifiant (1) est nécessairement strictement positive sur .
1- Montrer que si la fonction f vérifie (1) alors f ne s'annule pas sur .
2- On suppose que la fonction f vérifie la condition (1) et qu'il existe un réel a strictement positif tel que .
En déduire que l'équation admet au moins une solution dans l'intervalle [0,a].
3- Conclure.
Partie C
Existence et unicité de la fonction f.
1- Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Déterminer une primitive de la fonction sur cet intervalle.
2- En déduire que si f est telle que, pour tout x de , ,
alors il existe une constante C telle que, pour tout x de , .
3- On rappelle que . Déterminer l'expression de f(x) pour x réel positif.
4- En déduire les valeurs arrondies au millième de , , , , , puis les comparer avec les valeurs obtenues par la méthode d'EULER.
Solution
Partie A
Coordonnées des points:
Partie B
1-.Si il existe a tel que , alors , ce qui est contraire à l'hypothèse:pour tout x de , , donc f ne s'annule pas sur .
2- Supposons qu'il existe un réel a strictement positif tel que . Alors f est continue sur l'intervalle , donc et , donc l'équation admet au moins une solution dans l'intervalle [0,a].
3- D'après 2-, si une valeur de f est strictement négative alors f s'annule au moins une fois ce qui est contraire au résultat du 1-, donc toutes les valeurs de f sont strictement positives.
Partie C
1- Une primitive de la fonction sur l'intervalle I est la fonction , k étant une fonction constante.
2- Si f est telle que, pour tout x de , ,
alors d'après 1- il existe une constante k telle que, pour tout x de , , donc .
Donc il existe une constante telle que, pour tout x de , .
3- D'après 2- et, puisque , alors .
On en déduit que , donc, puisque f est strictement positive sur , .
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| Abscisse |
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| Ordonnée |
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| Valeur de f |
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| écart |
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L'écart entre la valeur de f et son estimation par la méthode d'Euler est compris entre 0.005 et 0.013.
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