| Les sujets "zéro" du baccalauréat
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| Série S
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| Exercice 27 (enseignement obligatoire)
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Enoncé
Un quincaillier achète des ampoules à trois fournisseurs dans les proportions suivantes: 20% au premier fournisseur; 50% au deuxième fournisseur et 30% au troisième fournisseur.
Le premier fournisseur fabrique 97% d'ampoules sans défaut, le deuxième fournisseur fabrique 98% d'ampoules sans défaut, le troisième fournisseur fabrique 95% d'ampoules sans défaut.
1- On choisit une ampoule au hasard dans le stock. On note D l'événement "l'ampoule est défectueuse", l'événement "l'ampoule provient du premier fournisseur", l'événement "l'ampoule provient du deuxième fournisseur" et l'événement "l'ampoule provient du troisième fournisseur".
(a) Calculer la probabilité de l'événement D, notée P(D).
(b) Sachant que l'ampoule choisie est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle provienne du premier fournisseur?
Donner la valeur exacte et une valeur approchée à 0.001 près de .
2- On suppose que la probabilité qu'une ampoule soit sans défaut est de 0.969.
On monte 12 ampoules sur un lustre. Calculer la probabilité R qu'une ampoule au plus soit défectueuse.
On donnera une valeur approchée à 0.001 près de R.
3- La durée de vie en heures d'une ampoule, notée T, suit une loi de durée de vie sans vieillissement (ou loi exponentielle) de paramètre .
Selon cette loi, pour tout x de , .
(a) Quelle est la probabilité qu'une ampoule dure plus de 25000 heures? Donner la valeur exacte de .
(b) Quelle est la probabilité qu'une ampoule dure plus de 50000 heures? Donner la valeur exacte de .
(c) Quelle est la probabilité qu'une ampoule dure plus de 50000 heures, sachant qu'elle a déjà duré 25000 heures? Donner la valeur exacte de .
Solution
1-(a) D'après les hypothèses de l'énoncé on peut établir l'arbre pondéré décrivant la situation:
Les événements , et forment une partition de l'univers, donc d'après la formule des probabilités totales:
(b) On veut calculer .
à 0.001 près.
2- On suppose que .
On est dans le cas d'un schéma de Bernouilli avec et .
L'événement contraire de l'événement: "une ampoule au plus est défectueuse" est réalisé si on obtient 12 ampoules non défectueuses ou 11 ampoules non défectueuses et 1 ampoule défectueuse.
On en déduit: à 0.001 près.
3-(a)
Une primitive de la fonction qui à t associe est la fonction qui à t associe , donc
Puisque , alors .
On en déduit: .
(b)
Puisque , alors .
On en déduit: .
(c) Soient l'événement "une ampoule dure plus de 25000 heures" et l'événement "une ampoule dure plus de 50000 heures".
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