| Les sujets "zéro" du baccalauréat
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| Série S
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| Exercice 28 (enseignement obligatoire)
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Enoncé
Première partie
On note j le nombre complexe .
1- Montrer les propriétés suivantes de j:
(a) .
(b) .
(c) .
(d) .
2- Dans un repère orthonormal direct du plan, on considère les points M, N, P d'affixes respectives m, n, p.
(a) Montrer que, si le triangle MNP est équilatéral direct, alors .
(b) Etablir la propriété suivante:
Le triangle MNP est équilatéral direct si, et seulement si, .
Deuxième partie
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On considère un cercle du plan de centre O et des points A, B, C, D, E, F de ce cercle tels que les angles , , aient la même mesure . Soient M, N, P les milieux respectifs des cordes [BC], [DE], [FA].
Montrer que le triangle MNP est équilatéral direct. |
Solution
Première partie
1- a)
b)
c)
d)
2- a) m-n est l'affixe du vecteur , p-n celle de . Comme MNP est équilatéral direct, NM=PN et [], donc , soit .
b) soit
soit
soit
soit
.
Supposons maintenant que . En remontant le raisonnement ci-dessus, on en revient à , ce qui implique que MNP est isocèle en N, avec []. Donc:
[] et:
, donc
Donc MNP est équilatéral direct, puisque les trois angles susnommés ont une mesure égale à .
Deuxième partie:
Supposons que ce cercle soit le cercle trigonométrique d'un repère orthonormal, et notons a, b, c, d, e, f, m, n et p les affixes respectives de A, B, C, D, E, F, M, N et P. En appliquant le résultat de la première partie au triangle OAB, équilatéral direct, on trouve:
En l'appliquant au triangle OCD, équilatéral direct, on trouve:
En l'appliquant au triangle OEF, équilatéral direct, on trouve:
.
Ces trois triangles sont bien équilatéraux directs; on a prouvé lors de la première partie qu'un triangle OAB isocèle pour lequel [] était équilatéral direct.
On sait que , et que . Donc:
soit
soit
.
Donc d'après la conclusion de la première partie, MNP est équilatéral direct.
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