| Les sujets "zéro" du baccalauréat
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| Série S
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| Exercice 30 (enseignement de spécialité)
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Enoncé
Des nombres étranges!
Les nombres 1;11;111;1111; etc. sont des nombres que l'on appelle rep-units (répétitions de l'unité). Ils ne s'écrivent qu'avec des chiffres 1. Ces nombres possèdent de nombreuses propriétés qui passionnent des mathématiciens.
Cet exercice propose d'en découvrir quelques-unes.
Pour k, entier strictement positif, on note le rep-unit qui s'écrit à l'aide de k chiffres 1.
Ainsi , ,,...
1- Citer deux nombres premiers inférieurs à 10 n'apparaissant jamais dans la décomposition d'un rep-unit.
Justifier brièvement la réponse.
2- Donner la décomposition en facteurs premiers de , et .
3- Soit n un entier strictement supérieur à 1. On suppose que l'écriture décimale de se termine par le chiffre 1.
(a) Montrer que, dans son écriture décimale, n se termine lui-même par 1 ou par 9.
(b) Montrer qu'il existe un entier m tel que n s'écrive sous la forme ou .
(c) En déduire que:
(20).
4- (a) Soit . Quel est le reste de la division de par 20?
(b) En déduire qu'un rep-unit distinct de 1 n'est pas un carré.
Solution
1- 2 en fait partie, car un rep-unit est impair.
5 en fait partie car un rep-unit ne finit ni par un 0, ni par un 5.
2-
3- (a) Le dernier chiffre de est le dernier chiffre du carré du dernier chiffre de n. Ces derniers chiffres sont consignés dans le tableau suivant:
| 0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
| 0 |
1 |
4 |
9 |
6 |
5 |
6 |
9 |
4 |
1 |
Donc ce chiffre est 1 ou 9.
(b) Supposons que n se termine par 1. Alors n-1 est divisible par 10; donc il existe tel que , donc il existe tel que .
De même, supposons que n se termine par 9. Alors n+1 est divisible par 10, donc il existe tel que , donc il existe tel que .
(c) Ecrivons . On a alors:
donc
donc
[20].
Ecrivons maintenant . On a alors:
donc
donc
[20].
4- (a) Démontrons par récurrence que ce reste est 11.
Pour k=2: .
Pour : soit
(en appliquant la propriété au rang n-1). Donc:
donc:
, donc le reste est aussi 11 à l'étape n. CQFD!
(b) Supposons que . L'écriture de se termine par un 1, donc d'après (3), [20]. Cela est en contradiction avec le (a), pour tout . 11 n'étant pas un carré, 1 est le seul rep-unit qui soit un carré.
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