| Les sujets "zéro" du baccalauréat
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| Série S
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| Exercice 31 (enseignement obligatoire)
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Enoncé
L'espace est rapporté à un repère orthonormal . On étudie le tétraèdre OABC, où les points A, B et C sont définis par leurs coordonnées; A , B , C .
Partie A. Géométrie analytique dans un tétraèdre
1- (a) Faire une figure représentant le repère et le tétraèdre.
(b) Déterminer la nature géométrique et calculer les dimensions de chacune des faces du tétraèdre.
2- On considère le vecteur de coordonnées .
(a) Vérifier que le vecteur est normal au plan (ABC).
(b) En déduire une équation du plan (ABC).
Partie B. Etude d'une section plane
Soit J le milieu de l'arête [BC]. Le point N est un point mobile du segment [OJ]. On appelle (P) le plan passant par le point N et orthogonal à la droite (OJ).
1- On pose . Vérifier que t appartient à l'intervalle .
2- On se propose de déterminer la nature de la section plane du tétraèdre OABC par le plan (P) . Le plan (P) coupe:
- l'arête [OC] au point R;
- l'arête [AC] au point S;
- l'arête [AB] au point T;
- l'arête [OB] au point U.
(a) Démontrer que les droites (ST), (BC) et (RU) sont parallèles. Démontrer que les droites (RS), (OA) et (TU) sont parallèles.
(b) Démontrer que le quadrilatère RSTU est un rectangle.
(c) Déterminer avec soin les dimensions du rectangle RSTU en fonction du nombre réel t (on précisera en particulier les différents triangles dans lesquels sont menés les calculs).
3-(a) Soit S(t) l'aire de la section plane définie à la question B.2. Démontrer que .
(b) Etudier les variations de la fonction S, définie sur l'intervalle par S(t).
(c) Pour quelle valeur du nombre réel t l'aire S(t) est-elle maximale? Quelle est alors la nature géométrique particulière de la section plane étudiée?
4- (a) On rappelle que le volume V du tétraèdre OABC est égal à l'intégrale .
Calculer V par cette méthode.
(b) Calculer V en utilisant l'aire d'une face et la hauteur correspondante du tétraèdre.
(c) Vérifier la cohérence des deux résultats.
Solution
A- 1- (a)
(b)
donc OBC est équilatéral.
et OC=2 donc OAC est isocèle en O.
, Ob=2 et OA=2 donc OAB est isocèle en O.
, et BC=2 donc ABC est isocèle en A.
2- Les coordonnées de sont . Donc:
.
Les coordonnées de sont . Donc:
Donc est normal à deux vecteurs non colinéaires de ABC, donc est normal à ABC.
B- 1- J a pour coordonnées . Si N de coordonnées appartient au segment [OJ], y=0 et z=0 ((OJ) est l'axe des abscisses); de plus, et , puisque N appartient au segment [OJ]; or donc .
2- (a) (BC) est perpendiculaire à (OJ) et (ST) est perpendiculaire à (OJ), donc comme (ST) est coplanaire avec (BC), donc (ST) est parallèle à (BC). De même, (BC) est perpendiculaire à (OJ), (BC) est perpendiculaire à (RU), (RU) est coplanaire avec (BC) (dans le plan OBC); donc (ST) est parallèle à (RU).
(OA) est parallèle au plan (P) et (RS) appartient à OAC donc (RS) est parallèle à (OA). De même, (TU) apprtient à OAB et (TU) est parallèle à (OA).
(b) RSTU est un parallélogramme d'après (a). (RS) est perpendiculaire au plan ABC, donc (RS) est perpendiculaire à (RU), donc RSTU est un rectangle.
(c) On applique le théorème de Thalès dans le triangle OBC avec la droite (RU), et dans le triangle OJB avec la droite (NU):
donc
(BC=2 d'après la question A-1-)
De même, on applique le théorème de Thalès dans le triangle OAB avec la droite (TU), et dans le triangle OBJ avec la droite (NU):
, donc:
(OA=2 d'après la question A- 1-)
3- (a) RSTU est un rectangle, donc:
(b) S est définie et dérivable sur et:
Voici le tableau de variation de S:
(c) S(t) est maximale pour , et .
On a alors:
et
.
Donc RSTU est un carré dans ce cas.
4- (a) soit
(b) Prenons la face OBC et la hauteur [OA]:
soit
soit
.
(c) Les deux valeurs sont bien égales: CQFD!
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