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Les sujets "zéro" du baccalauréat
Séries S et ES
Exercice commun




Enoncé

Un meunier a besoin, pour sa farine, d'un mélange de quatre variétés différentes de grains de blé, d'égale quantité chacune et notées 1, 2, 3, 4.
1- Il veut savoir si, dans son silo, les différentes variétés sont bien mélangées. Pour cela, il prélève, à la sortie du silo, un échantillon de 100 grains de blé rendus radioactifs par des marqueurs différents selon les variétés. Il obtient les résultats suivants:


Le meunier veut savoir si ces données sont vraisemblables lorsqu'on fait l'hypothèse d'un mélange homogène des quatre variétés, ce qui correspond à un quart des marqueurs pour chaque variété.
On appelle la fréquence dans l'échantillon de la variété i et on pose .
Calculer la valeur de .
2- On suppose l'équiprobabilité de la présence d'un grain de blé de chaque variété et on simule 10000 séries de 100 tirages de grains de blé.
Pour chaque série de 100 tirages, on calcule . Le tableau suivant donne le nombre de séries pour lesquelles la valeur de est strictement supérieure à l'entier j:


Lire la valeur du neuvième décile, arrondie à l'entier le plus proche, puis celle du quatre-vingt quinzième centile.
3- Si l'hypothèse l'équiprobabilité est vraie:

a) Peut-on affirmer avec un risque d'erreur de 10% que le mélange étudié à la question 1 est homogène?
b) Même question avec un risque d'erreur de 5%.
c) Que peut-on dire si quelqu'un demande un risque d'erreur de 0%?


Solution

1-
2- Les valeurs de étant rangées par ordre décroissant, le neuvième décile est la 1000 ème valeur de . D'après le tableau ci-dessus le neuvième décile est entre 6 et 7, plus près de 6 que de 7, donc la valeur du neuvième décile, arrondie à l'entier le plus proche, est 6.
De même, les valeurs de étant rangées par ordre croissant, le 95ème centile est la 500ème valeur de . D'après le tableau ci-dessus le 95ème centile est entre 7 et 8, plus près de 8 que de 7, donc la valeur du 95ème centile, arrondie à l'entier le plus proche, est 8.
3- a) La valeur 7.12 observée de est supérieure au neuvième décile donc, si l'hypothèse l'équiprobabilité est vraie on ne peut affirmer avec un risque d'erreur de 10% que le mélange étudié à la question 1 est homogène.
b) La valeur 7.12 observée de est inférieure au 95ème centile donc, si l'hypothèse l'équiprobabilité est vraie, on peut affirmer avec un risque d'erreur de 5% que le mélange étudié à la question 1 est homogène.
c) Ne connaissant pas la valeur maximale de , on ne peut la comparer à la valeur observée de , donc on ne peut rien affirmer quant à l'homogénéité du mélange étudié avec un risque d'erreur de 0%.



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