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Inéquations à une inconnue
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Application ( fiche 1.1 )
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Résoudre l'inéquation d'inconnue réelle x
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Résoudre l'inéquation d'inconnue réelle x.
La résolution se fait en plusieurs étapes.
Etape 1
L'inéquation est du premier degré en x, puisque les deux termes en x qu'elle contient sont et . On va donc la mettre sous la forme (ou ).
Etape 2
On développe :
Etape 3
On regroupe les termes en x au premier membre et les termes constants au second membre :
Etape 4
On réduit chaque membre :
Etape 5
Le coefficient multiplicateur de x est 4, qui est strictement positif; donc on divise les deux membres de l'inéquation par 4 sans changer le sens de l'inéquation :
Etape 6
On réduit le premier membre :
Les solutions de l'inéquation sont évidentes : ce sont tous les nombres réels strictement inférieurs à .
Comme l'inéquation donnée est équivalente à celle-ci, alors on peut donner la réponse à la question posée :
L'ensemble des solutions de l'inéquation est .
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La résolution de l'inéquation ci-dessus en six étapes plus la réponse, comprend à la fois la rédaction et les raisonnements nécessaires pour l'obtenir, c'est-à-dire ce que l'on doit écrire et ce que l'on doit se dire.
Voici ce que pourrait être la rédaction seule :
Exercice
Résoudre l'inéquation
Rédaction
Je divise les deux membres par 4 qui est strictement positif :
L'ensemble des solutions de l'inéquation est : .
Vous avez pu remarquer que nous avons conservé une ligne expliquant la dernière transformation. Tout le monde ne l'exige pas, mais elle nous semble très importante surtout à cause du changement éventuel de sens.
Alors notre conseil est de se le dire tout le temps et si vous ne l'écrivez pas, cela ne vous sera jamais reproché.
De plus, après la division par 4, on a écrit le premier membre déjà simplifié. Ceci est très courant mais il est très important aussi d'écrire assez longtemps puis ensuite x. Ainsi on « voit » bien ce que l'on fait.
Remarques
1.La forme de la réponse donnée ci-dessus est la plus courante. On pourrait aussi dire : l'inéquation a une infinité de solutions : tous les nombres réels strictement inférieurs à .
Cette réponse est très longue et n'apporte pas de précisions importantes, tout le monde sait que dans l'intervalleil existe une infinité de nombres réels qui sont inférieurs à.
2.Par contre il est important de retenir que, le plus souvent, une équation a un nombre fini de solutions et qu'une inéquation a un nombre infini de solutions.
Donc, autant il est simple de vérifier que quelques nombres connus sont solutions d'une équation, autant il est impossible de vérifier qu'une infinité de nombres connus sont solutions d'une inéquation. Alors il faut renoncer à la vérification et avoir confiance dans ses raisonnements et ses calculs !
3.Encore une indication à propos de l'ensembledes solutions de l'inéquation : il est souvent demandé, et c'est parfois très utile, de le représenter par les points d'un axe.
Dans le dessin ci-dessus on a choisi de colorer l'ensemble des points de l'axe qui représente l'ensemble des solutions de l'inéquation.
Attention au crochet il est vers l'extérieur de l'ensemble si le nombre extrême n'en fait pas partie et vers l'intérieur dans le cas contraire.
Ici,n'est pas solution de l'inéquation, d'où le crochet vers l'extérieur de la partie rouge.
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