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Fonction dérivée. Module gratuit
Apprentissage
Fiche 3



Question

Définir la fonction dérivée d'une fonction f définie sur l'ensemble des nombres réels par: , u et v étant des fonctions polynômes de degrés un ou deux.


Méthode 1

On développe le produit pour écrire sous la forme d'une somme puis on dérive en utilisant:
1. Si alors
2. Si alors
3. Si alors
4. Si alors
5. Le théorème , u étant une fonction dérivable et k un nombre réel.
6. Le théorème: , u et v étant des fonctions dérivables.



Exercice 1

Si alors


Exercice 2

Si alors

Remarque
On obtient le même résultat que dans l'exercice précédent: deux fonctions différentes ont la même dérivée.
La première fois cela paraît drôle mais après réflexion on comprend: la seule différence entre et est la constante -2 et comme la dérivée d'une fonction constante est nulle, il n'y a pas de différence entre les dérivées des deux fonctions.




Exercice 3

Si alors


Exercice 4

Si alors


Exercice 5

Si alors


Exercice 6

Si alors


Exercice 7

Si alors


Exercice 8

Si alors


Exercice 9

Si alors


Méthode 2

On constate que est sous la forme d'un produit de deux facteurs du type puis on dérive en utilisant:
7. Le théorème: ,
et toujours:
1. Si alors
2. Si alors
3. Si alors
4. Si alors
5. Le théorème , u étant une fonction dérivable et k un nombre réel.
6. Le théorème: , u et v étant des fonctions dérivables.



Exercice 1

Si alors


Exercice 2

Si alors


Exercice 3

Si alors


Exercice 4

Si alors


Exercice 5

Si alors


Exercice 6

Si alors


Exercice 7

Si alors


Exercice 8

Si alors


Exercice 9

Si alors


Exercice 10

Si alors


Exercice 11

Si alors


Exercice 12

Si alors


Exercice 13

Si alors


Maintenant vous devez être capable de dériver toute fonction f, produit de deux fonctions polynômes de degré un ou deux, en transformant ou non l'expression de f(x).



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