12/10/2001
Jean-marie cétrulo
Question
Bonjour,
Excusez-moi de vous déranger mais j'ai de nouveau un problème avec les barycentres. Pourriez vous m'aider?
Soit ABCD un parallélogramme.
Soit I le milieu du segment CD et E le symétrique du point A par rapport à B. Les droites AC et IB se coupent en F . Le but de l'exercice est de montrer que les points D, F et E sont alignés.
1 Soit G le barycentre des points pondérés (A,1),(E,1),(D,2) et (C,2).
a Démontrer que G est l'isobarycentre du triangle BCD.
b En deduire que les points B,G et I sont alignés.
2
a Démontrer que les points A,G et C sont alignés .
b En deduire les points G et f sont confondus.
3 Démontrer que les points D,F et E sont alignés.
J'attends votre réponse avec impatience. Je vous remercie d'avance. Anthony CETRULO.
Réponse
Désolée je n'étais pas disponible. J'espère ne pas arriver trop tard!
Vous avez la solution demandée ci-dessous.
En tant que professeur, je n'aime pas trop faire les exercices des élèves je préférerais répondre à des questions permettant que vous puissiez arriver à résoudre vous-même votre exercice. Voulez-vous essayer de formuler des questions du genre:
Comment démontrer que trois points sont alignés?
Je vous répondrais que le barycentre de deux points se trouve sur la droite qui les joint. Il suffit de montrer qu'un point est le barycentre des deux autres
Je pourrais vous dire aussi que si A, B et C sont alignés alors il existe une relation du type: . Il suffit de la trouver .
Qu'en pensez-vous?
A bientôt de vos nouvelles
N Lemaire
Voici la solution:
G est le barycentre de donc:
(1)
On en déduit:
E est le symétrique de A par rapport à B donc donc:
donc (2) donc G est l'isobarycentre de B C et D.
D'après (2):
donc
I est le milieu de [DC] donc d'où:
(3)
G est le barycentre de donc les points G B et I sont alignés.
D'après (1):
soit
ABCD est un parallèlogramme donc et puisque E est le symétrique de A par rapport à B:
donc
d'où ou (4) donc G appartient à la droite (AC).
Les droites (AC) et (BI) se coupent en F et G est leur point d'intersection donc F et G sont confondus.
D'après (1) et (4) alors
donc G (ou F) appartient à la droite (ED).
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