8/10./2001
Jean-marie Cétrulo
Question
Monsieur, Madame,
Pourriez-vous m'indiquer la marche à suivre pour résoudre mon exercice:
Soit ABC un triangle. I,J,K les points définis par I est le symétrique de A par rapport à B.
et
Démontrer que les droites (AK),(BJ)et(CK) sont concourantes.
Par la méthode du barycentre partiel ou associativité.
Je vous remercie d'avance de bien vouloir m'aider.
Réponse
Je vous envoie en fichier joint la résolution de votre problème. J'espère que cela vous conviendra j'attends votre avis.
Bonsoir
N Lemaire
Solution:
La démonstration utilise le théorème suivant:
Si G est le barycentre de alors G est sur la droite (AA') où A' est le barycentre de
Pour montrer que les droites (BJ), (CI) et (AK) sont concourantes, on va montrer que le barycentre de est leur point d'intersection. Il suffit de trouver les réels , et .
Pour cela, on utilise la définition vectorielle des points I, J et K. I est tel que donc . I est le barycentre de .
J est tel que . On transforme pour obtenir une égalité du type . En utilisant la relation de Chasles, on obtient . J est le barycentre de .
K est tel que . avec le même type de calcul, on obtient . K est le barycentre de .
On considère les points pondérés (A,1), (B,-2) et (C,3).
Puisque I est le barycentre de d'où G barycentre de est sur la droite (IC).
Puisque J est le barycentre de alors G barycentre de est sur la droite (JB).
Puisque K est le barycentre de alors G barycentre de est sur la droite (KA).
G est unique donc les droites (IC), (JB) et (KA) sont concourantes en G barycentre de .
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